miércoles, 12 de febrero de 2014

FORMULA GENERAL DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Ecuación cuadrática

Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

* La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee lasDefiniciones básicas de Álgebra)

* Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x²).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

		En esta a=2, b=5 y c=3

		Aquí hay una un poco más complicada: ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x²" b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
		¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x² (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

	El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!

	La parte azul (b² - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta: si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas	Qué hacer	En forma estándar	a, b y c
x² = 3x -1	Mueve todos lostérminos a la izquierda	x² - 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x² - 2x) = 5	Desarrolla paréntesis	2x² - 4x - 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	Desarrolla paréntesis	x² - x - 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x² = 0	Multiplica por x²	5x² + x - 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

Video: Formula General

TEOREMA DE PITAGORAS

Teoremas de Pitagoras:

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $a\,$ y $b\,$ , y la medida de la hipotenusa es $c\,$ , se establece que:

(1) $c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Video: Teorema de Pitagoras

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Regla particular o especial de la adición de probabilidades para eventos mutuamente excluyentes

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (eventos no intersecantes), es decir, si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la del otro, no pueden ocurrir a la vez, o cuando no tienen ningún punto muestral en comun

entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:

Ejemplos ilustrativos

1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un Rey de corazón rojo en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos mutuamente excluyentes porque no es posible obtener ambos a la vez.

Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la adición de probabilidades para eventos mutuamente excluyentes se obtiene:

2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número impar o con un número múltiplo de 4?

Solución:

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

Video: Eventos mutuamente excluyentes

EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes:

Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:

El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de conjuntos

Ejemplos ilustrativos

1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.

Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?

Solución:

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

Video: Eventos no mutuamente excluyentes

HOMOTECIA

Homotecia:

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un únicopunto fijo, llamado centro.

Ejemplo:

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo $\scriptstyle {\mathbb {K}}$ . Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía de centro C y de razón k, denotada $\scriptstyle h_{{C,k}}$ envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

$M'-C=k(M-C)\,$

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

$M'=kM+(1-k)C\,$

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

${\begin{bmatrix}m'_{x}\\m'_{y}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k&0&(1-k)c_{x}\\0&k&(1-k)c_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m_{x}\\m_{y}\\1\end{bmatrix}}$

$M'=(m'_{x},m'_{y})\,$ , $M=(m_{x},m_{y})\,$ y $C=(c_{x},c_{y})\,$ .

En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.

Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, una homotecia de centro el punto C y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen C que pasa por P.

La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.
el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
Si k ≠ 0, $\scriptstyle h_{{C,k}}$ admite como trasformación recíproca $\scriptstyle h_{{C,1/k}}$ (cuando k = 0, no es biyectiva).
Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: $\scriptstyle h_{{C,k}}$ o $\scriptstyle h_{{C,k'}}$ = $\scriptstyle h_{{C,k\cdot k'}}$ .
Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.

Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:

todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. Que la homotecia original

SIMETRÍA CENTRAL

Simetría Central:

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto del centro de simetría O cuando O es el punto medio del segmento.

La simetría respecto de un punto se llama simetría central y los puntos correspondientes, homólogos. En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes también son iguales.

Ejemplo 1:

Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.

Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:
A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’

Estos triángulos son simétricos respecto del centro O.

Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas:

Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).

Coordenadas de los puntos

Coordenadas de sus simétricos

A=(3, 1)

A=(-3, -1)

B=(1, 2)

B=(-1, -2)

C=(2, -1)

C=(-1, 2)

Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto de origen de coordenadas tienen sus abscisas y ordenadas opuestas.

Las ecuaciones de la simetría central son:

x’ = x , y’ = -y

Video: Simetría Central

SIMETRÍA AXIAL

Simetría Axial:

Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA'.

Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.

ejemplo:

Decimos que una figura plana tiene simetría axial cuando podemos trazar una recta (llamada eje de simetría) que divida en dos partes la figura, de manera que si plegamos el plano por ese eje las dos partes coinciden. Observa que una parte "se refleja" en el eje para formar la otra, como si el eje actuase de espejo.

Video: Simetria Axial

TRASLACIÓN DE FIGURAS

TRASLACIÓN DE FIGURAS

Traslación: la traslación es un movimiento en el plano de tal forma que a cada punto de la figura le corresponde un vector de traslación, (una distancia, una dirección y un sentido de la traslación)

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por unvector

, tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P', tal que:

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no unatransformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.

Video: Traslación de figuras

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Rotación de Figuras:

Es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación. Una rotación pura de un cuerpo queda representada mediante el vector velocidad angular, que es un vector de carácter deslizante,

situado sobre el eje de rotación.

Puesto que a la rotación también se le llama, erróneamente, revolución, debemos diferenciar claramente el significado de estos términos.
La rotación de un cuerpo alrededor de un eje (exterior o interior al cuerpo) corresponde a un movimiento en el que los distintos puntos del cuerpo presentan velocidades que son proporcionales a su distancia al eje. Obviamente, los puntos del cuerpo situados sobre el eje (en el caso de que este sea interior al eje) permanecen en reposo.
La orientación del cuerpo en el espacio cambia continuamente durante la traslación.
Un ejemplo de rotación el de la Tierra alrededor de su propio eje de rotación, con un periodo de rotación de un día sidé
El movimiento de traslación no prejuzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el cuerpo. Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por que ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea

Las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la figura: la armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectorias circulares.

Rotación: La rotación es un movimiento angular de cada uno de los puntos a partir de un punto que es el centro de giro. Para este movimiento es necesario dar un ángulo y el punto centro de giro

Video: Rotacion de figuras